Introduction aux mouvances riemanniennes - Un manuel d'études supérieures

Introduction aux plis riemanniens (M. Lee John)

Avis des lecteurs

Résumé:

Ce livre est très apprécié pour sa présentation claire et précise de sujets importants de la géométrie riemannienne, destinée aux étudiants en mathématiques de niveau avancé. Cependant, la qualité de l'impression a été remise en question par certains lecteurs, avec des incohérences significatives dans la qualité signalées dans différentes copies.

Avantages:

Exposé clair et précis des sujets clés. Bien structuré pour les étudiants avancés, avec un premier chapitre particulièrement fort qui facilite la compréhension.

Inconvénients:

Qualité d'impression médiocre signalée dans certains exemplaires, entraînant une certaine frustration chez les lecteurs quant à l'état physique du livre.

(basé sur 3 avis de lecteurs)

Titre original :

Introduction to Riemannian Manifolds

Contenu du livre :

Ce livre est conçu comme un manuel de référence pour un cours de géométrie riemannienne d'un trimestre ou d'un semestre, destiné aux étudiants qui sont familiers avec les manifolds topologiques et di ? erentiables.

Il se concentre sur le développement d'une connaissance approfondie de la signification géométrique de la courbure. Ce faisant, il introduit et démontre l'utilisation de tous les principaux outils techniques nécessaires à une étude minutieuse des manifolds riemanniens.

J'ai sélectionné un ensemble de sujets qui peuvent raisonnablement être couverts en dix à quinze semaines, sans chercher à fournir un traitement encyclopédique du sujet. Le livre commence par un traitement minutieux des mécanismes de la métrique, des connexions et des géodésiques, sans lesquels on ne peut prétendre faire de la géométrie riemannienne. Il introduit ensuite le tenseur de courbure de Riemann et passe rapidement à la théorie des sous-milieux afin de donner au tenseur de courbure une interprétation quantitative concrète.

À partir de là, tous les e ? orts sont tournés vers la démonstration des quatre théorèmes les plus fondamentaux concernant la courbure et la topologie : le théorème de Gauss-Bonnet (exprimant la courbure totale d'une surface en fonction de son type d'arrêt), le théorème de Cartan-Hadamard (restreignant la topologie des plis à courbure non positive), le théorème de Bonnet (donnant des restrictions analogues sur les plis à courbure strictement positive) et un cas particulier du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks (caractérisant les plis à courbure constante). De nombreux autres résultats et techniques pourraient raisonnablement prétendre à une place dans un cours d'introduction à la géométrie riemannienne, mais n'ont pu être inclus faute de temps.