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Titre original :
Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes
Contenu du livre :
Ce texte présente une introduction à la géométrie différentielle pour les étudiants en mathématiques et en physique. L'exposé suit le développement historique des concepts de connexion et de courbure dans le but d'expliquer la théorie de Chern-Weil des classes caractéristiques sur un faisceau principal. En cours de route, nous rencontrons certains des points forts de l'histoire de la géométrie différentielle, par exemple le théorème d'égrégore de Gauss et le théorème de Gauss-Bonnet. Des exercices tout au long du livre testent la compréhension du lecteur et illustrent parfois des extensions de la théorie. Au départ, le lecteur doit avoir une certaine familiarité avec les collecteurs. Après le premier chapitre, il devient nécessaire de comprendre et de manipuler les formes différentielles. Une connaissance de la cohomologie de de Rham est requise pour le dernier tiers du texte.
Les connaissances préalables sont contenues dans le texte de l'auteur, An Introduction to Manifolds, et peuvent être acquises en un semestre. Pour le bénéfice du lecteur et pour établir des notations communes, l'annexe A rappelle les bases de la théorie des manifolds. De plus, afin de rendre l'exposé plus complet, des sections sur les constructions algébriques telles que le produit tensoriel et la puissance extérieure sont incluses.
La géométrie différentielle, comme son nom l'indique, est l'étude de la géométrie à l'aide du calcul différentiel. Elle remonte à Newton et Leibniz au XVIIe siècle, mais ce n'est qu'au XIXe siècle, avec les travaux de Gauss sur les surfaces et de Riemann sur le tenseur de courbure, que la géométrie différentielle s'est épanouie et que ses fondements modernes ont été posés. Au cours des cent dernières années, la géométrie différentielle s'est avérée indispensable à la compréhension du monde physique, dans la théorie générale de la relativité d'Einstein, dans la théorie de la gravitation, dans la théorie de la jauge et, aujourd'hui, dans la théorie des cordes. La géométrie différentielle est également utile en topologie, dans plusieurs variables complexes, en géométrie algébrique, dans les manifolds complexes et dans les systèmes dynamiques, entre autres domaines. Elle a même trouvé des applications en théorie des groupes, comme dans les travaux de Gromov, et en théorie des probabilités, comme dans les travaux de Diaconis. Il n'est pas exagéré d'affirmer que la géométrie différentielle devrait faire partie de l'arsenal de tout mathématicien.
Autres informations sur le livre :
| ISBN : | 9783319550824 |
| Auteur : | |
| Éditeur : | |
| Langue : | anglais |
| Reliure : | Relié |
| Année de publication : | 2017 |
| Nombre de pages : | 347 |
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