Titre original :
Quantized Number Theory, Fractal Strings and the Riemann Hypothesis: From Spectral Operators to Phase Transitions and Universality
Contenu du livre :
L'étude de la relation entre la géométrie, l'arithmétique et les spectres des fractales a été un sujet d'intérêt significatif dans les mathématiques contemporaines. Ce livre contribue à la littérature sur le sujet de plusieurs façons différentes et nouvelles. En particulier, les auteurs fournissent une étude rigoureuse et détaillée de l'opérateur spectral, une carte qui envoie la géométrie des chaînes fractales sur leur spectre. Pour ce faire, ils utilisent et développent des méthodes issues de la géométrie fractale, de l'analyse fonctionnelle, de l'analyse complexe, de la théorie des opérateurs, des équations aux dérivées partielles, de la théorie analytique des nombres et de la physique mathématique. À l'origine, M L Lapidus et M van Frankenhuijsen ont introduit de manière heuristique l'opérateur spectral dans leur développement de la théorie des chaînes fractales et de leurs dimensions complexes, en particulier dans leur réinterprétation des travaux antérieurs de M L Lapidus et H Maier sur les problèmes spectraux inverses pour les chaînes fractales et l'hypothèse de Riemann. L'un des thèmes principaux du livre est de fournir un cadre rigoureux dans lequel la question correspondante "Peut-on entendre la forme d'une corde fractale ? ou, de manière équivalente, "Peut-on obtenir des informations sur la géométrie d'une chaîne fractale, étant donné son spectre ? peut être reformulée en termes d'invertibilité ou de quasi-invertibilité de l'opérateur spectral.
Le décalage infinitésimal de la ligne réelle est d'abord défini précisément comme un opérateur de différenciation sur une famille d'espaces de Hilbert pondérés de manière appropriée de fonctions sur la ligne réelle et indexés par un paramètre dimensionnel c. Ensuite, l'opérateur spectral est défini via le calcul fonctionnel comme une fonction du décalage infinitésimal. De cette manière, il est considéré comme un analogue "quantique" naturel de la fonction zêta de Riemann. Plus précisément, dans ce cadre, l'opérateur spectral est défini comme la carte composite de la fonction zêta de Riemann avec le décalage infinitésimal, considéré comme un opérateur normal non borné agissant sur l'espace de Hilbert ci-dessus. On montre que la quasi-invertibilité de l'opérateur spectral est intimement liée à l'existence de zéros critiques de la fonction zêta de Riemann, ce qui conduit à une nouvelle reformulation spectrale et de la théorie des opérateurs de l'hypothèse de Riemann. En conséquence, l'opérateur spectral est quasi-invertible pour toutes les valeurs du paramètre dimensionnel c dans l'intervalle critique (0,1) (autre que dans le cas mi-fractal où c =1/2) si et seulement si l'hypothèse de Riemann (RH) est vraie. Une reformulation connexe, mais apparemment très différente, de l'HR, due au deuxième auteur et appelée "critère asymétrique pour l'HR", est également discutée en détail : à savoir, l'opérateur spectral est inversible pour toutes les valeurs de c dans l'intervalle critique gauche (0,1/2) si et seulement si l'HR est vraie.
Ces reformulations spectrales de la RH ont également conduit à la découverte de plusieurs "transitions de phase mathématiques" dans ce contexte, pour la forme du spectre, l'inversibilité, le caractère borné ou non borné de l'opérateur spectral, et se produisant soit dans le cas mi-fractal, soit dans le cas le plus fractal lorsque la dimension fractale sous-jacente est égale à 1/2 ou 1, respectivement. En particulier, la dimension fractale moyenne c=1/2 joue le rôle d'un paramètre critique en physique statistique quantique et dans la théorie des transitions de phase et des phénomènes critiques. En outre, les auteurs fournissent un "analogue quantique" du théorème classique de Voronin sur l'universalité de la fonction zêta de Riemann. En outre, ils obtiennent et étudient des contreparties quantifiées de la série de Dirichlet et du produit d'Euler pour la fonction zêta de Riemann, dont on montre qu'elles convergent (dans un sens approprié) même à l'intérieur de la bande critique. Pour des raisons pédagogiques, la majeure partie du livre est consacrée à l'étude de la fonction zêta de Riemann quantifiée. Cependant, les résultats obtenus dans cette monographie devraient conduire à une quantification de la plupart des fonctions zêta arithmétiques classiques, et donc à une quantification naturelle de divers aspects de la théorie analytique des nombres et de la géométrie arithmétique.
Le livre devrait être accessible aux experts comme aux non-experts, y compris aux étudiants diplômés en mathématiques et en physique et aux chercheurs postdoctoraux, intéressés par la géométrie fractale, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs et l'analyse fonctionnelle, les équations différentielles, l'analyse complexe, la théorie spectrale, ainsi que par la physique mathématique et théorique. Chaque fois que cela est nécessaire, des informations de base sur les différents sujets abordés sont fournies et les nouveaux travaux sont placés dans leur contexte historique. Plusieurs annexes complètent le texte principal.
Autres informations sur le livre :
| ISBN : | 9789813230798 |
| Auteur : | |
| Éditeur : | |
| Reliure : | Relié |
| Année de publication : | 2021 |
| Nombre de pages : | 496 |
Achat:
Actuellement disponible, en stock.
