Les treillis résidués : Un aperçu algébrique des logiques sous-structurelles : Volume 151

Avis des lecteurs

Il n'y a actuellement aucun avis de lecteur. La note est basée sur 2 votes.

Titre original :

Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics: Volume 151

Contenu du livre :

Ce livre a deux objectifs. Le premier, le plus évident, est de présenter les résultats de l'état de l'art dans la recherche algébrique sur les structures résiduelles liées aux logiques sous-structurelles. Le second, moins évident mais tout aussi important, est de fournir une introduction raisonnablement douce à la logique algébrique. Au début, le second objectif est prédominant. Ainsi, dans les premiers chapitres, le lecteur trouvera une introduction à l'algèbre universelle pour les logiciens, un cours accéléré de logique non classique pour les algébristes, une introduction aux structures résiduées, un aperçu des calculs de type Gentzen ainsi que quelques morceaux de théorie de la preuve - le célèbre Hauptsatz, ou théorème d'élimination des coupures, entre autres. Ces éléments conduisent naturellement à une discussion sur les interconnexions entre la logique et l'algèbre, où nous essayons de démontrer qu'elles constituent les deux faces d'une même pièce. Nous envisageons que les chapitres initiaux puissent servir de manuel pour un cours de troisième cycle, peut-être intitulé Algèbre et logique sous-structurelle.

Au fur et à mesure que le livre avance, le premier objectif prend le pas sur le second. Bien qu'il soit difficile de préciser le point d'équilibre, on peut dire que nous entrons dans la partie technique avec la discussion des diverses complétions des structures résiduelles. Il s'agit notamment des complétions de Dedekind-McNeille et des extensions canoniques. Les complétions sont utilisées plus tard dans l'étude de plusieurs propriétés de finitude telles que la propriété de modèle fini, la génération de variétés par leurs membres finis, et l'encastrement fini. L'analyse algébrique de l'élimination des coupures qui suit fait également appel aux complétions. La décidabilité des logiques, des théories équationnelles et quasi-équationnelles vient ensuite, où nous montrons comment les méthodes théoriques de preuve comme l'élimination des coupures sont préférables pour les petites logiques/théories, mais que les outils sémantiques comme le théorème de Rabin fonctionnent mieux pour les grandes. Nous nous penchons ensuite sur le théorème de Glivenko, qui dit qu'une formule est une tautologie intuitionniste si et seulement si sa double négation est une tautologie classique. Nous le généralisons au cadre sous-structural, en identifiant pour chaque logique sous-structurale sa classe d'équivalence de Glivenko avec le plus petit et le plus grand élément. C'est également ici que nous commençons à étudier les treillis de logiques et de variétés, plutôt que des exemples particuliers. Nous continuons dans cette veine en présentant un certain nombre de résultats concernant les variétés minimales/logiques maximales.

Un théorème typique dit que pour une variété bien connue donnée, son treillis de sous-variétés a précisément tel ou tel nombre de membres minimaux (où les valeurs de tel ou tel incluent, mais ne sont pas limitées à, continuum, innombrablement nombreux et deux). Dans les deux derniers chapitres, nous nous concentrons sur le treillis des variétés correspondant aux logiques sans contraction. Dans l'un d'eux, nous prouvons un résultat négatif : qu'il n'y a pas de scissions non triviales dans cette variété. Dans l'autre, nous prouvons un résultat positif : que les variétés semi-simples coïncident avec les variétés discriminantes.

Dans la deuxième partie, plus technique, du livre, un autre processus de transition peut être tracé. En effet, nous commençons par des techniques à tendance logique et nous terminons par des techniques à tendance algébrique. Ici, peut-être, le rendu algébrique des théorèmes de Glivenko marque le point d'équilibre, au moins dans le sens où les propriétés de finitude, la décidabilité et les théorèmes de Glivenko sont d'un intérêt évident pour les logiciens, alors que la semisimplicité et les variétés de discriminants sont l'algèbre universelle par excellence. Il appartient au lecteur de juger si nous avons réussi à tisser ces fils en un tissu homogène.

Autres informations sur le livre :

• ISBN : 9780444521415
• Auteur : Nikolaos Galatos
• Éditeur : Butterworth Heinemann
• Langue : anglais
• Reliure : Relié
• Année de publication : 2007
• Nombre de pages : 532